Dérivées partielles en un point

[ Definition ]
Soit \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) et \(a \in U\). On considère la base canonique \(e = (e_1,e_2)\) de \(\mathbb{R}^2\). On appelle dérivées partielles de \(f\) au point \(M_0 \in U\) les dérivées de \(f\), si elles existent, selon les vecteurs \(e_1\) et \(e_2\) et on note alors \[\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(M_0) = D_{e_1}f(M_0) = \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{f(M_0+te_1)- f(M_0)}{t} }\quad \textrm{ et} \quad\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial y}(M_0) = D_{e_2}f(M_0) = \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{f(M_0+te_2)- f(M_0)}{t} }\]
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