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Dérivées partielles en un point
[ Definition ]
Soit \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) et \(a \in U\). On considère la base canonique \(e = (e_1,e_2)\) de \(\mathbb{R}^2\). On appelle dérivées partielles de \(f\) au point \(M_0 \in U\) les dérivées de \(f\), si elles existent, selon les vecteurs \(e_1\) et \(e_2\) et on note alors \[\boxed{
\dfrac{\partial f}{\partial x}(M_0) =
D_{e_1}f(M_0) =
\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{f(M_0+te_1)-
f(M_0)}{t}
}\quad \textrm{ et} \quad\boxed{
\dfrac{\partial f}{\partial y}(M_0) =
D_{e_2}f(M_0) =
\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{f(M_0+te_2)-
f(M_0)}{t}
}\]
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