Formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\)

[ Théorème ]
Si \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur l’ouvert convexe \(U \subset \mathbb{R} [2]\), pour \((x_0, y_0) \in U\) et \((h, k) \in \mathbb{R} [2]\) tel que \((x_0+h,y_0+k) \in U\), \[f(x_0+h, y_0+k) = f(x_0,y_0) + h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) + k \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) + \dfrac{1}{2}\bigl[h^2 \dfrac{\partial^{2} f}{\partial {(}^{2}}x_0,y_0) + 2hk\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0) + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial {y}^{2}}(x_0,y_0)\bigr] + \lVert (h,k) \rVert_{ }^2R(h, k)\] avec \(R(h,k) \xrightarrow[(h,k) \rightarrow (0,0)]{} 0\).
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