Formule de Taylor intégrale à l’ordre \(2\)

[ Théorème ]
Soit \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{2}\). On suppose que \(U\) est un ouvert convexe. Soit \(M_0=(x_0, y_0) \in U\) et un accroissement \(\overrightarrow{H}=(h,k)\) tel que \(M_0 + \overrightarrow{H} \in U\). On a : \[f(x_0+h, y_0+k) = f(x_0, y_0) + \Bigl[ \underbrace{h\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) + k\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)}_{{\mathrm{d}f}_{M_0}(\overrightarrow{H})} \Bigr] + R(h,k)\]\[R(h, k) = \displaystyle{\int_{0}^{1}} (1-t)\bigl[ h^2 \dfrac{\partial^{2} f}{\partial {x}^{2}}(x_0+th,y_0+tk) + 2hk\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}(x_0+th,y_0+tk) + k^2\dfrac{\partial^{2} f}{\partial {y}^{2}}(x_0+th, y_0+tk) \bigr] \mathrm{ \;d}t\]
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