Dérivées partielles d’une composée

[ Théorème ]
Soit \(f : U \subset \mathbb{R} [2] \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\), \(x,y : V \subset \mathbb{R} [2] \mapsto \mathbb{R}\) deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^{1}\). On suppose que \(\forall (u,v) \in V\), \(\bigl(x(u,v), y(u,v)\bigr) \in U\). On peut alors définir la fonction \[F : \left\{ \begin{array}{ccl} U & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (u,v) & \longmapsto & f\bigl(x(u,v), y(u,v)\bigr) \end{array} \right.\] La fonction \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) et en tout point \((u,v) \in V\), \[\boxed{ \begin{cases} \dfrac{\partial F}{\partial u}(u,v) &= \dfrac{\partial x}{\partial u}(u,v) \dfrac{\partial f}{\partial x}(x(u,v), y(u,v)) + \dfrac{\partial y}{\partial u}(u,v) \dfrac{\partial f}{\partial y}(x(u,v), y(u,v)) \newline \dfrac{\partial F}{\partial v}(u,v) &= \dfrac{\partial x}{\partial v}(u,v) \dfrac{\partial f}{\partial x}(x(u,v),y(u,v)) + \dfrac{\partial y}{\partial v}(u, v) \dfrac{\partial f}{\partial y}(x(u,v), y(u,v)) \end{cases} }\]
En savoir plus