Composée de fonctions continues

[ Théorème ]
On considère une fonction \[f : \left\{ \begin{array}{ccl} U & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (x,y) & \longmapsto & f(x,y) \end{array} \right.\] continue au point \((x_0, y_0) \in U\) et une fonction \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} V\subset \mathbb{R} [2] & \longrightarrow & U \\ (u,v) & \longmapsto & (x(u,v), y(u,v)) \end{array} \right.\] On suppose que les deux fonctions \(x : V \mapsto \mathbb{R}\) et \(y : V \mapsto \mathbb{R}\) sont continues au point \((u_0, v_0)\). Alors la composée : \[F : \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline (u,v) & \longmapsto & f(x(u,v), y(u,v)) \end{array} \right.\] est continue au point \((u_0, v_0)\).
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