Composée de DLs

[ Proposition ]
Soient deux fonctions \(f\) et \(g\) définies au voisinage de \(0\). On suppose que

  1. La fonction \(f\) admet un DL d’ordre \(n\) en \(0\), \(f\left(x\right) = F\left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\) où \(F\) est un polynôme de degré \(n\).

  2. La fonction \(g\) admet un DL d’ordre \(n\) en \(0\), \(g\left(x\right) = G\left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\) où \(G\) est un polynôme de degré \(n\).

  3. \(\boxed{f(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0}\).

Alors la fonction composée \(g \circ f\) admet un DL d’ordre \(n\) en \(0\) de partie régulière obtenue en ne gardant que les termes de degré \(\leqslant n\) dans le polynôme \(G\circ F\).
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