Combinaison linéaire et produit de DLs

[ Proposition ]
Soient deux fonctions \(f\) et \(g\) réelles définies sur \(I\) admettant en \(0\) des DL d’ordre \(n\) \[\forall x\in I,\quad f\left(x\right) = P\left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right) \quad \textrm{ et} \quad g\left(x\right) = Q\left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\] où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes réels de degré \(n\). Soient \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R} [2]\). Les fonctions \(\alpha f+ \beta g\) et \(f\times g\) admettent des Dl d’ordre \(n\) en \(0\) et ces DLs sont donnés par, pour tout \(x\in I\) \[\begin{aligned} \left(\alpha f + \beta g\right)\left(x\right) &=& \left(\alpha P + \beta Q\right) \left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\\ \left(f\times g\right)\left(x\right) &=& R \left(x\right) + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\newline \end{aligned}\] où \(R\left(x\right)\) est égal au produit \(P\left(x\right)Q\left(x\right)\) auquel on a retiré tous les termes de degré \(>n\).
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