DL classiques à partir de Taylor-Young

[ Proposition ]
On obtient les DL classiques suivants en \(0\) en calculant les dérivées successives en \(0\) et en appliquant la formule de Taylor-Young.

  • Fonctions exponentielle et hyperboliques : \[\begin{aligned} e^x &=& 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\\ \mathop{\mathrm{ch}}x &=& 1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2n+1}\right)\\ \mathop{\mathrm{sh}}x &=& x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots+\dfrac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2n+2}\right) \end{aligned}\]

  • Fonctions trigonométriques : \[\begin{aligned} \cos x &=& 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2n+1}\right)\\ \sin x &=& x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+ \left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{2n+2}\right) \end{aligned}\]

  • Fonction logarithme : \[\begin{aligned} \ln\left(1+x\right) &=& x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots+\left(-1\right)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\newline \ln\left(1-x\right) &=& -\left( x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+\dfrac{x^n}{n} \right) +\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right) \end{aligned}\]

  • Fonction \(x\mapsto \left(1+x\right)^\alpha\) avec \(\alpha\in \mathbb{R}\) : \[\begin{aligned} \left(1+x\right)^\alpha &=& 1+\alpha x+\cdots+ \dfrac{\alpha\left(\alpha-1\right)\cdots\left(\alpha-n+1\right)}{n!}x^n+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right) \end{aligned}\]

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