Primitivation d’un DL

[ Théorème ]
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) tel que \(0 \in \overline{I}\) et \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\). On suppose que

  1. la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(I\).

  2. la fonction \(f'\) admet un DL d’ordre \(n\) en \(0\), \(\forall x\in I,\quad f'\left(x\right) = \overbrace{a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n}^{P'\left(x\right)} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^n\right)\)

  3. \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} l \in \mathbb{R}\).

alors la fonction \(f\) admet un DL d’ordre \(n+1\) en \(0\) obtenu en primitivant la partie régulière du DL de \(f'\) et en ajoutant la limite de \(f\) en \(0\) : \[\forall x\in I,\quad \boxed{f\left(x\right) = \underbrace{l + a_0x + \dfrac{a_1}{2} x^2 + \ldots + \dfrac{a_n}{n+1} x^{n+1}}_{P\left(x\right)} + \underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x^{n+1}\right)}\]
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