Intégrale d’une fonction en escaliers

[ Definition ]
Supposons que \(a<b\). Soit une fonction en escalier \(\varphi\in \mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) et \(\tau : a=x_0<\dots<x_n=b\) une subdivision subordonnée à \(\varphi\). Soient \(c_0,\ldots,c_{n-1}\in\mathbb{R}\) tels que : \(\forall k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket \quad \forall x\in\left]x_k,x_{k+1}\right[ \quad \varphi\left(x\right)=c_k\). On définit l’intégrale de la fonction en escalier \(\varphi\) entre \(a\) et \(b\) comme étant le nombre réel \[\int_{\left[a,b\right]}\varphi=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} c_k\left(x_{k+1}-x_k\right)}.\] Ce nombre ne dépend pas du choix de la subdivision \(\tau\) subordonnée à \(\varphi\).
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