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Fonction en escalier
[ Definition ]
Une fonction \(\varphi: \left[a,b\right]\to\mathbb{R}\) est une fonction en escalier sur le segment \(\left[a,b\right]\) s’il existe une subdivision \(\tau : a=x_0<\dots<x_n=b\) du segment \(\left[a,b\right]\) telle que \(\varphi\) est constante sur chaque intervalle \(\left]x_k,x_{k+1}\right[\) \[\forall k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket, \quad \exists c_k\in\mathbb{R}, \quad \forall x\in\left]x_k,x_{k+1}\right[, \quad \varphi\left(x\right)=c_k\]
La subdivision \(\tau\) est dite subordonnée à la fonction \(\varphi\).
On notera \(\mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) l’ensemble des fonctions en escalier sur \([a,b]\) à valeurs réelles.