Intégrale de Riemann d’une fonction continue par morceaux

[ Proposition ]
Soit une fonction \(f\) continue par morceaux sur un segment \([a,b]\). On considère les ensembles \[\mathscr I_{<f}=\left\{\int_{\left[a,b\right]}\varphi~|~\textrm{ $\varphi$ est en escalier sur $\left[a,b\right]$ et $\varphi\leqslant f$}\right\}\] \[\mathscr I_{>f}=\left\{\int_{\left[a,b\right]}\varphi~|~\textrm{ $\varphi$ est en escalier sur $\left[a,b\right]$ et $f\leqslant\varphi$}\right\}\] On a les propriétés suivantes,

  • \(\mathscr I_{<f}\) admet une borne supérieure.

  • \(\mathscr I_{>f}\) admet une borne inférieure.

  • \(\sup \mathscr I_{<f}=\inf \mathscr I_{>f}\).

On définit alors l’intégrale de Riemann de la fonction continue par morceaux \(f\) sur \([a,b]\) par \[\boxed{\int_{\left[a,b\right]}f=\sup \mathscr I_{<f}=\inf \mathscr I_{>f}}\]
En savoir plus