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Inégalité de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et soit \(a\in I\). Si \(x\in I\), on peut, d’après le théorème précédent [Formule_de_Taylor], écrire \(f\left(x\right)\) sous la forme \[\begin{aligned}
f\left(x\right)&=&\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^k +
\int_{a}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n}{n!}f^{(n+1)}\left(t\right)\,\textrm{d}t\newline
&=&T_n\left(x\right) + R_n\left(x\right)
\end{aligned}\] On a alors \[\begin{aligned}
\boxed{\left|f\left(x\right)-T_n\left(x\right)\right| =
\left|R_n\left(x\right)\right| \leqslant\dfrac{\left|x-a\right|^{n+1}}{\left(n+1\right)!} M_{n+1}}
\end{aligned}\] où \(M_{n+1}\) est un majorant de \(\left|f^{\left(n+1\right)}\right|\) sur \(\left[a,x\right]\) (qui existe car \(f^{\left(n+1\right)}\) est continue sur le segment \(\left[a,x\right]\))
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