Formule de Taylor avec reste intégral

[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). Si \(\left(a,x\right)\in I^2\). Alors : \[\boxed{f\left(x\right)=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^k+ \int_{a}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n}{n!}f^{(n+1)}\left(t\right)\,\textrm{d}t}\]
  • Le polynôme \[T_n\left(x\right) = \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^k = f\left(a\right) + \dfrac{\left(x-a\right)}{1!}f'\left(a\right) + \ldots +\dfrac{\left(x-a\right)^n}{n!} f^{\left(n\right)}\left(a\right)\] est appelé polynôme de Taylor de \(f\) de degré \(n\).

  • La fonction définie sur \(I\) par \[R_n\left(x\right)=\int_{a}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n}{n!}f^{(n+1)}\left(t\right)\,\textrm{d}t\] est appelée reste intégral.

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