Si l’intégrale d’une fonction continue positive est nulle alors cette fonction est nulle

[ Théorème ]
Soient \(\left[a,b\right]\) un segment et une fonction \(f:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}\) vérifiant
  1. la fonction \(f\) est continue sur le segment \(\left[a,b\right]\),

  2. elle est positive : \(\forall x\in\left[a,b\right], \quad f\left(x\right) \geqslant 0\).

  3. son intégrale est nulle : \(\int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=0\).

Alors la fonction est nulle : \(\boxed{\forall x\in\left[a,b\right], \quad f\left(x\right)=0}\)
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