Monotones

[ Proposition ]
Soit une fonction \(f : I \mapsto \mathbb{R}\). On suppose que

  1. \(f\) est dérivable sur \(I\).

Alors on a les résultats suivants :

  1. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) \geqslant 0 \right]\Longleftrightarrow f\) est croissante sur \(I\).

  2. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) > 0\right]\) \(\Rightarrow\) \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

  3. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) \leqslant 0 \right]\Longleftrightarrow f\) est décroissante sur \(I\).

  4. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) < 0 \right]\) \(\Rightarrow\) \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).

  5. \(\left[\forall x\in I, \quad f'(x) = 0\right] \Longleftrightarrow f\) est constante sur \(I\).

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