Développement limité à l’ordre \(1\) d’une fonction dérivable

[ Proposition ]
Soit \(f \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\). La fonction \(f\) est dérivable au point \(a\in I\) si et seulement si il existe \(\varepsilon:I \rightarrow \mathbb{R}\) telle que \(\varepsilon(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} 0\) et un réel \(c\) tel que \[\forall x\in I, \quad \boxed{f(x)=f(a)+c(x-a)+ \underbrace{(x-a)\varepsilon(x)}_{\underset{x \rightarrow a}{o}\left(x-a\right)}}\] On a alors \(c=f'(a)\).
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