Dérivée bornée implique lipschitzienne

[ Théorème ]
Soit une fonction \(f:I \rightarrow \mathbb{R}\) définie sur un intervalle \(I\). On suppose que

  1. la fonction \(f\) est continue sur l’intervalle \(I\),

  2. la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle ouvert \(\overset{\circ}{I}\),

  3. la fonction \(f\) est bornée sur l’intervalle ouvert \(\overset{\circ}{I}\) : \(\exists K \geqslant 0\), tel que \(\forall x \in \overset{\circ}{I}\), \(\lvert f'(x) \rvert \leqslant K\).

Alors la fonction \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur l’intervalle \(I\).
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