Dérivation de la bijection réciproque

[ Théorème ]
Soit une fonction \(f:I \rightarrow R\). On suppose que

  1. la fonction \(f\) est injective sur l’intervalle \(I\).

  2. la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(I\).

  3. la fonction \(f'\) ne s’annule pas sur \(I\) : \(\forall x\in I, \quad \boxed{f'\left(x\right)\neq 0}\).

Alors la fonction \(f\) réalise une bijection de l’intervalle \(I\) sur l’intervalle \(J=f(I)\) et son application réciproque, \(f^{-1}\) est dérivable sur l’intervalle \(J\) avec \[\boxed{\left(f^{-1}\right)'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}}\]
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