Règles de calcul de dérivées

[ Théorème ]
Soient deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(I\) et dérivables en un point \(a\in I\). On a les propriétés suivantes :

  • Soient deux réels \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). La fonction \(\alpha f+\beta g\) est dérivable en \(a\) et \[\boxed{\left(\alpha f+\beta g\right)'\left(a\right)=\alpha f'\left(a\right)+\beta g'\left(a\right)}\]

  • La fonction \(fg\) est dérivable en \(a\) et \[\boxed{\left(fg\right)'\left(a\right)=f'\left(a\right)g\left(a\right)+f\left(a\right)g'\left(a\right)}\]

  • Si \(g\left(a\right)\neq 0\), alors il existe un voisinage du point \(a\) sur lequel la fonction \(g\) ne s’annule pas. La fonction \(1/g\) est alors définie au voisinage du point \(a\) et est dérivable en \(a\) avec \[\boxed{\left(\dfrac{1}{g}\right)'\left(a\right)=-\dfrac{g'\left(a\right)}{g^2\left(a\right)}}\]

  • Si \(g\left(a\right)\neq 0\), alors de la même façon que précédemment la fonction \(f/g\) est définie au voisinage de \(a\), est dérivable en \(a\) et \[\boxed{\left(\dfrac{f}{g}\right)'\left(a\right)=\dfrac{f'\left(a\right)g\left(a\right)-f\left(a\right)g'\left(a\right)}{ g^2\left(a\right)}}\]

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