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Opérations sur les fonctions
[ Definition ]
Dans \(\mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\), on définit les lois suivantes.
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Addition. Si \((f,g) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)^2\), on définit l’application \(\left(f+g\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \left(f+g\right)(x)=f(x)+g(x)\]
Multiplication par un réel. Si \((\lambda,f) \in \mathbb{R} \times \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\), on définit l’application \(\left(\lambda f\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \left(\lambda f\right)(x)=\lambda f(x)\]
Multiplication de deux fonctions. Si \((f,g) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)^2\), on définit l’application \(\left( fg\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \left(fg\right)(x)= f(x) g(x)\]
Valeur absolue d’une fonction. Si \(f \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\), on définit l’application \(\left|f\right| \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \left|f\right|(x)=\left| f(x)\right|\]
Maximum, Minimum de deux fonctions. Si \((f,g) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)^2\), on définit les deux applications \(\sup\left(f+g\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) et \(\inf\left(f+g\right) \in \mathscr F \left(I,\mathbb{R}\right)\) par \[\forall x \in I, \quad \sup\left(f,g\right)(x)=\max\left\{f(x),g(x)\right\}\] \[\forall x \in I, \quad \inf\left(f,g\right)(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}\]