Recherche d’un zéro par dichotomie

[ Théorème ]
On considère une fonction continue \(f: [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) telle que \(f(a) \leqslant 0\) et \(f(b) \geqslant 0\). On construit deux suites récurrentes \((a_n)\) et \((b_n)\) en posant \(a_0 = a\), \(b_0 = b\) et \[\forall n \in \mathbb N,\quad a_{n+1} = \begin{cases} a_n & \textrm{ si } f\bigl(\dfrac{a_n + b_n}{2}\bigr) \geqslant 0 \\ \dfrac{a_n + b_n}{2} & \textrm{ si } f\bigl(\dfrac{a_n + b_n}{2}\bigr) < 0 \end{cases} \quad b_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n + b_n}{2} & \textrm{ si } f\bigl(\dfrac{a_n + b_n}{2}\bigr) \geqslant 0 \newline b_n & \textrm{ si } f\bigl(\dfrac{a_n + b_n}{2}\bigr) < 0 \end{cases}\] Alors les deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes et convergent vers une même limite \(c\) qui est un zéro de la fonction \(f\). Si l’on choisit de prendre \(a_n\) comme valeur approchée de \(c\), on obtient la majoration de l’erreur \[\forall n \in \mathbb N,~ \lvert c - a_n \rvert \leqslant\dfrac{b-a}{2^n}\]

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