Lecture zen
Théorème de la limite monotone (fonction croissante)
[ Théorème ]
Soient \((a,b)\in \overline{\mathbb{R}}^2\) et \(I = \left] a,b \right[\). Si une fonction \(f:\left] a,b \right[ \rightarrow \mathbb{R}\) est croissante, alors il y a deux possibilités.
En savoir plus
Si \(f\) est majorée, alors \(f\) admet une limite finie \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(b\) et on a alors \(l= \sup_I f\).
Si \(f\) n’est pas majorée, alors \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow b]{} +\infty\).
De même,
Si \(f\) est minorée, alors \(f\) admet une limite finie \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) et \(l = \inf_I f\).
Si \(f\) n’est pas minorée, alors \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} -\infty\).