Composition de limites

[ Théorème ]
Soient deux intervalles \(I \subset \mathbb{R}\), \(J \subset \mathbb{R}\) et deux fonctions \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) et \(g:J \rightarrow \mathbb{R}\) telles que \(f(I) \subset J\). Soient \(a\in \bar{I}\) et \(b\in\bar{J}\). On suppose que

  1. \(f\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} b\)

  2. \(g\left(y\right) \xrightarrow[y\rightarrow b]{} l \in \overline{\mathbb{R}}\)

Alors \(\boxed{\left(g \circ f\right) (x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l}\).
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