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Suite convergente
[ Definition ]
On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) converge vers un réel \(l\in\mathbb{R}\) si et seulement si \[\boxed{\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N}:\quad \forall n\in
\mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow
\left|u_n-l\right|\leqslant\varepsilon}\] c’est-à dire, pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout \(n\) plus grand que \(N\), \(u_n\) est à une distance plus petite que \(\varepsilon\) de \(l\).
En savoir plus
On dit alors que \(l\) est la limite de la suite \((u_n)\) et on note \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\) ou encore \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=l}\).
S’il existe un tel \(l\), on dit que la suite \((u_n)\) est convergente.
S’il n’existe pas de réel \(l\) vérifiant cette propriété, on dit que la suite \((u_n)\) est divergente.