Caractérisation de la borne supérieure

[ Théorème ]
Soient \(X\) une partie de \(\mathbb{R}\) et \(a\) un nombre réel. Il y a équivalence entre :

  1. \(a\) est la borne supérieure de \(X\).

  2. \(\boxed{\forall x\in X,~x\leqslant a}\) et \(\boxed{\forall \varepsilon>0,~\exists x\in X,\quad x\in\left]a-\varepsilon,a\right]}\)

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