Système de coordonnées sphériques

[ Definition ]
Soient \(\mathscr R\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) un repère orthonormal de l’espace, \(M\) un point de l’espace et \(P\) son projeté orthogonal sur le plan horizontal \(\left(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)\).

On appelle système de coordonnées sphériques de \(M\) par rapport à \(\mathscr R\) tout triplet de réels \(\left(r,\theta,\varphi\right)\) tel que :

  • \(r=\left\|\overrightarrow{OM}\right\|\).

  • \(\left(\rho,\theta\right)\) est un système de coordonnées polaires de \(P\) par rapport au repère orthonormal direct \(\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).

  • \(\varphi\) est la mesure de l’angle \(\left(\widehat{\overrightarrow{k},\overrightarrow{OM}}\right)\) élément de \(\left[0,\pi\right]\).

\(\varphi\) est appelé la colatitude du point \(M\) et \(\theta\) la longitude.
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