Position d’un plan par rapport à une sphère

[ Proposition ]
Soit \(\mathscr S\) une sphère de centre \(A\) et de rayon \(R\in13 sqrt _+^*\). Soient \(\mathscr P\) un plan de l’espace et \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \(\mathscr P\).

  • Si \(d\left(A,\mathscr P\right)>R\) alors \(\mathscr P\cap \mathscr S = \varnothing\).

  • Si \(d\left(A,\mathscr P\right)=R\) alors \(\mathscr P\cap \mathscr S = \left\{H\right\}\).

  • Si \(d\left(A,\mathscr P\right)<R\) alors \(\mathscr P\cap \mathscr S\) est le cercle de centre \(H\) et de rayon \(\sqrt{R^2 - d^2\left(A,\mathscr P\right) }\).

Dans le deuxième cas, on dit que \(\mathscr P\) est le plan tangent à la sphère \(\mathscr S\) au point \(H\).
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