Caractérisation de la perpendicularité ou du parallélisme de deux plans à partir de leurs équations cartésiennes respectives

[ Proposition ]

Soient \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) deux plans d’équations cartésiennes respectives \[ax+by+cz=d \quad \textrm{ et} \quad a'x+b'y+c'z=d'.\] Les vecteurs \(\overrightarrow{n}\left(a,b,c\right)\) et \(\overrightarrow{n}'\left(a',b',c'\right)\) sont donc, respectivement, des vecteurs normaux à \(\mathscr P\) et à \(\mathscr P'\).

  1. Les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) sont parallèles si et seulement si il existe un réel \(\lambda\neq 0\) tel que \[a'=\lambda a, \quad b'=\lambda b \quad \textrm{ et} \quad c'=\lambda c\]

  2. Les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) sont confondues si et seulement si il existe un réel \(\lambda\neq 0\) tel que \[a'=\lambda a, \quad b'=\lambda b ,\quad c'=\lambda c \quad \textrm{ et} \quad d'=\lambda d\]

  3. Les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) sont perpendiculaires si et seulement si \[aa'+bb'+cc'=0\]

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