Coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace

[ Proposition ]
Soit \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) une base de \(\mathscr V\). Tout vecteur \(\overrightarrow{x}\) de \(\mathscr V\) s’exprime comme une combinaison linéaire unique des \(3\) vecteurs \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) c’est-à-dire : \[\forall x\in\mathscr V,\quad \exists ! (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3:\quad \overrightarrow{x}=\alpha\overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}+\gamma \overrightarrow{w}\] Le triplet \((\alpha,\beta,\gamma)\) est appelé coordonnées de \(\overrightarrow{x}\) dans la base \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\). On notera : \[\overrightarrow{x} \left|\begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right.{\gamma} \textrm{ ou } \overrightarrow{x} \left(\begin{matrix} \alpha \newline \beta \end{matrix} \right){\gamma} \textrm{ ou aussi } \overrightarrow{x}(\alpha,\beta,\gamma)\]
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