Définition bifocale de l’ellipse et de l’hyperbole

[ Proposition ]
Soient \(a\) et \(c\) deux réels strictement positifs, \(F\) et \(F'\) deux points du plan tels que \(\left\|\overrightarrow{FF'}\right\|=2c\).
  1. Si \(a>c\), l’ensemble des points du plan tels que \[\boxed{\left\|\overrightarrow{MF}\right\|+ \left\|\overrightarrow{MF'}\right\| = 2a}\] est l’ellipse de foyers \(F\) et \(F'\) et de demi-grand axe \(a\)

  2. Si \(a<c\), l’ensemble des points du plan tels que \[\boxed{\left| \left\|\overrightarrow{MF}\right\| - \left\|\overrightarrow{MF'}\right\| \right| = 2a}\] est l’hyperbole de foyers \(F\) et \(F'\) et de demi-axe focal \(a\).

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