Du déterminant

[ Proposition ]
Soient \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{G}\) deux applications définies sur \(I\), dérivables en \(t_0 \in I\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\). Alors les applications \[\left<\overrightarrow{F}|\overrightarrow{G}\right>: \left\{ \begin{array}{ccl} I & \longrightarrow & R \\ t & \longmapsto & \left<\overrightarrow{F}(t)|\overrightarrow{G}(t)\right> \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad\mathop{\rm det}\left({\overrightarrow{F}},{\overrightarrow{G}}\right): \left\{ \begin{array}{ccl} I & \longrightarrow & R \newline t & \longmapsto & \mathop{\rm det}\left({\overrightarrow{F}(t)},{\overrightarrow{G}(t)}\right) \end{array} \right.\] sont dérivables en \(t_0\) et \[\boxed{\left(\left<\overrightarrow{F}|\overrightarrow{G}\right>\right)'(t_0)=\left<\overrightarrow{F}'(t_0)|\overrightarrow{G}(t_0)\right>+\left<\overrightarrow{F}(t_0)|\overrightarrow{G}'(t_0)\right> }\] \[\boxed{\left(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{G}\right)\right)'(t_0)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{F}'(t_0),\overrightarrow{G}(t_0)\right)+\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{F}(t_0),\overrightarrow{G}'(t_0)\right)}\]
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