Equation différentielle linéaire du second ordre

[ Definition ]
Considérons trois scalaires \(a,b,c\in\mathbb{K}\) avec \(a\neq 0\) ainsi qu’une fonction \(d:I\rightarrow \mathbb{K}\).
  • On appelle équation différentielle du second ordre une équation différentielle de la forme \[\forall t\in I, \quad a~y''\left(t\right)+b~y'\left(t\right)+c~y\left(t\right)=d\left(t\right) \quad (E)\]

  • Une solution de cette équation différentielle est une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(\mathbb{K}\) et vérifiant \[\forall t \in I, \quad a~f''\left(t\right)+b~f'\left(t\right)+c~f\left(t\right)=d\left(t\right)\]

  • Résoudre, ou intégrer l’équation différentielle \((E)\) revient à déterminer l’ensemble des fonctions qui sont solutions de \((E)\). On notera \(S_\mathbb{K}(E)\) cet ensemble.

  • Le graphe d’une solution \(f\) de \((E)\) dans un repère \(\left(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)\) du plan est une courbe intégrale de \((E)\).

  • Si la fonction \(d\) est identiquement nulle sur \(I\) , l’équation différentielle \((E)\) est dite homogène ou sans second membre.

En savoir plus