Cas où \(d=Pe^{mt}\)

[ Proposition ]
On suppose que \(d\) est de la forme \(d:t\mapsto P\left(t\right)e^{mt}\) où \(P\) est une fonction polynomiale et où \(m\in\mathbb{C}\). Alors \(\left(E\right)\) possède une solution particulière de la forme :

  • \(Qe^{mt}\) si \(m\) n’est pas une racine de \(aX^2+bX+c=0\)

  • \(tQe^{mt}\) si \(m\) est une racine simple de \(aX^2+bX+c=0\)

  • \(t^2Qe^{mt}\) si \(m\) est une racine double de \(aX^2+bX+c=0\)

où \(Q\) est une fonction polynomiale de même degré que \(P\).
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