Caractérisation de la fonction exponentielle par l’équation fonctionnelle \(f(s+t)=f(s)f(t)\)

[ Proposition ]
Soit \(f\) une fonction dérivable de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) vérifiant l’équation \(\forall (s,t) \in \mathbb{R}^2, ~~ f(s+t)=f(s)f(t)\). Si il existe \(c \in \mathbb{R}\) tel que \(f(c)=0\) alors \(f\) est la fonction nulle sur \(\mathbb{R}\). Sinon \(f(0)=1\) et il existe \(a\in \mathbb{C}\) tel que \(f'=a f\), c’est-à-dire tel que \(f=f_a\).
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