Caractérisation de la fonction exponentielle l’équation différentielle \(f'=af\)

[ Proposition ]
Soit \(f\) une fonction dérivable de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) et pour laquelle il existe \(a \in \mathbb{C}^*\) tel que \(f'=af\). Alors il existe \(\lambda \in \mathbb{C}\) tel que : \(\forall t \in \mathbb{R},\quad f(t)=\lambda e^{at}\). Autrement dit, \(f\) vérifie : \(f=\lambda f_a\). Si, de plus, \(f(0)=1\) alors \(f=f_a\).
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