Résolution des équations différentielles du premier ordre dans \(\mathbb{R}\)

[ Théorème ]
Considérons \(a,b,c\in\mathbb{R}\) avec \(a\neq 0\) ainsi que \(\left(E\right)\) l’équation différentielle donnée par : \[\forall t\in\mathbb{R}, \quad a y''\left(t\right)+by'\left(t\right)+cy\left(t\right)=0\] Notons \(\Delta\) le discriminant de l’équation caractéristique associée à \(\left(E\right)\).

  • Si \(\Delta> 0\), l’équation caractéristique de \(\left(E\right)\) possède deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\) et les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \[\boxed{\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t} \end{array} \right. }\] où \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\).

  • Si \(\Delta=0\), l’équation caractéristique de \(\left(E\right)\) admet une racine double \(r\) et les solutions réelles de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \[\boxed{\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \left(\alpha t+\beta\right)e^{r t} \end{array} \right. }\] où \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\).

  • Si \(\Delta <0\), l’équation caractéristique de \(\left(E\right)\) admet deux racines complexes conjuguées \(r+i\omega\) et \(r-i\omega\) et les solutions réelles de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \[\boxed{\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline t & \longmapsto & \left[\alpha\cos\left(\omega t\right)+ \beta\sin\left(\omega t\right)\right]e^{r t} \end{array} \right. }\] où \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\).

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