Bilinéarité du déterminant

[ Proposition ]
Le déterminant est bilinéaire: pour tous \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), on a \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_1})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_2})} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{\mathop{\rm det}(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2},\overrightarrow{v})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u_1} ,\overrightarrow{v})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u_2} ,\overrightarrow{v}).}\]
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