Espérance conditionnelle de \(X\) sachant \(S\) (resp. sachant \(Y\))

[ Definition ]
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle d’espérance finie, sur un triplet de probabilité \((\Omega,{\cal A},P)\) et soit \(S\) une sous-\(\sigma\)-algèbre de \({\cal A}\) (resp. \(Y\) une variable aléatoire sur \((\Omega,{\cal A},P)\) qui engendre la \(\sigma\)-algèbre \(S\subset {\cal A}\)). On appelle espérance conditionnelle de \(X\) sachant \(S\) (resp. sachant \(Y\)) l’unique (presque partout5) variable aléatoire \(E(X|S)\) (resp. \(E(X|Y)=E(X|S)\)) mesurable pour \(S\) et telle que \[\forall s\in S,\ \int_s E(X|S) dP=\int_s X dP\] (on peut aussi écrire \(E(E(X|S)\chi_s)=E(X\chi_s)\)). Si \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{R}^x\) et \(\mathbb{R}^y\) respectivement et admettant des densités respectives \(f_x\) et \(f_y\), alors \((X,Y)\) a pour densité \(f_{xy}(a,b)=f_x(a)f_y(b)\) et la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(Y\), notée \({\cal L}_{X|Y}\) ou \({\cal L}_{X|Y=y}\) est la loi de densité \(a\mapsto f_{xy}(a,Y)/f_y(Y)\).
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