Covariance et variance

[ Definition ]

Étant donnée \(X\) une variable aléatoire , on définit la déviation de \(X\) par \[\tilde X=X-E(X).\]

Étant données \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires dans \(L^2\), on définit la covariance de \(X\) et \(Y\) par \[Cov(X,Y)=E( \tilde X.\tilde Y).\] Étant donnée \(X\) une variable aléatoire dans \(L^2\), on définit la variance de \(X\) par \[Var(X)=Cov(X,X).\] Le produit scalaire de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) de \(L^2\) est l’espérance de \(X.Y\) (comme dans le cadre d’un espace \(L^2\) quelconque), noté parfois \(\).

On appelle corrélation entre deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) de normes \(N_2\) non nulles le réel de \([-1,1]\) \(cor(X,Y) = \frac{<\tilde X|\tilde Y>}{N_2(\tilde X).N_2(\tilde Y)}\). On dit que deux variables sont décorrélées ou non-corrélées lorsque leur corrélation est nulle. On appelle angle entre deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) de normes \(N_2\) non nulles le réel \(\theta\) appartenant à \([0,\pi]\) tel que \(cos(\theta)=\frac{<X|Y>}{N_2(X).N_2(Y)}\).

Plus généralement, deux variables aléatoires sont dites non corrélées si leur covariance est nulle (sans forcément que leur corrélation soit bien définie donc).

On appelle matrice de covariance d’un suite finie de variables aléatoires \((X_1,...,X_d)\) la matrice symétrique \(M\) définie par \(M_{i,j}=cov(X_i,X_j)\).
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