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\(\bullet\)Pour toute fonction mesurable \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), \[\int_\mathbb{R}f(x).d(P^X*P^Y)(x)=\int_\mathbb{R}\left( \int_\mathbb{R}f(x+y)
dP^Y(y)\right)dP^X(x).\]
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Propriétés fondamentales du produit de convolution
[ Proposition ]
Soient \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires réelles indépendantes de lois \(P^X\) et \(P^Y\).
\(\bullet\)La loi de \(X+Y\) est \(P^X*P^Y\).
\(\bullet\)\(P^X*P^Y=P^Y*P^X\).