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Si \(E(|X_n|)\to E(|X|)\), alors \(E(|X_n - X|) \to 0\).
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Théorèmes de passage à la limite en probabilités
[ Théorème ]
Soit \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires et \(X\) une variable aléatoire telles que \[P(X_n \to X) = 1\mbox{ c'est-à-dire } P(\{{\omega}; X_n({\omega}) \to X({\omega}) \})=1.\] Alors les résultats de convergence monotone, de Fatou, de convergence dominée et de Scheffé, que l’on peut trouver dans la partie [integra], se reformulent comme suit:
\(\bullet\)Convergence monotone:
Si les \(X_n\) sont \(\geq 0\) et \(X_n({\omega})\) croit vers \(X({\omega})\) pour \(n \to +\infty\), alors \(E(X_n) \to E(X)\).
\(\bullet\)Lemme de Fatou:
Si \(X_n \geq 0\) alors \(E(X) \leq liminf\ E(X_n)\)
\(\bullet\)Théorème de convergence dominée de Lebesgue:
Si pour tout \(n\) et tout \({\omega}\) on a \(|X_n({\omega})| \leq |Y({\omega})|\), avec \(Y\) une variable aléatoire telle que \(E(Y) \leq + \infty\), alors \(E(|X_n-X|) \to 0\), et en particulier \(E(X_n) \to E(X)\).
\(\bullet\)Lemme de Scheffé: