Position d’une courbe par rapport à sa direction

[ Definition ]

Étant donné \(\gamma\) un arc suffisamment dérivable de \([0,a]\) dans \(\mathbb{R}^d\), on considère (si elles existent) ses premières dérivées non nulles \(d1=\frac{d^m\gamma}{dt^m}\) et \(d2=\frac{d^n\gamma}{dt^n}\) en \(t\in [0,a]\) telles que \(d1\) et \(d2\) ne soient pas colinéaires3.

On dit que:

  • \(\frac{d\gamma}{dt}\) est appelé vitesse de \(\gamma\) en \(t\). On dit que l’arc est une abscisse ou abscisse curviligne si la vitesse a une norme constante égale à \(1\).

  • la droite passant par \(\gamma(t)\) et de direction \(d1\) est appelé direction de \(\gamma\) en \(t\).

  • \(t\), ou \(\gamma(t)\) s’il n’existe pas \(u\neq t\) tel que \(\gamma(t)=\gamma(u)\), est un point d’inflexion si \(m\) et \(n\) sont impairs (la courbe change alors en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

  • \(t\) (ou \(\gamma(t)\)…) est un point de rebroussement de première espèce si \(m\) est pair et \(n\) est impair (la courbe « rebrousse chemin » et change alors en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

  • \(t\) (ou \(\gamma(t)\)…) est un point de rebroussement de seconde espèce si \(m\) et \(n\) sont pairs (la courbe « rebrousse chemin » et ne change alors pas en \(t\) de côté par rapport à sa direction en \(t\)).

En savoir plus