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On appelle vectorialisé de \(X\) en \(x_0\in X\) l’espace vectoriel \((X,+)\) pour l’addition \(x+y=z\) avec \(z\) tel que \(\overrightarrow{x_0x}+\overrightarrow{x_0y}=\overrightarrow{x_0z}\). Pour l’application qui à \((x,y)\) associe \(z\) tel que \(x+z=y\), \(X\) est un espace affine de direction son vectorialisé.
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Espace affine de direction \(E\)
[ Definition ]
Étant donné \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, on appelle espace affine de direction \(E\) un ensemble \(X\) muni d’une application \((x,y) \mapsto \overrightarrow{xy}\) de \(X \times X\) dans \(E\) telle que:
\(\bullet\)\(\forall (x,y,z) \in X^3, \overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yz}=\overrightarrow{xz}\)
\(\bullet\)\(\forall x \in X, \forall u \in E , \exists ! y \in X\ \overrightarrow{xy}=u\)
On définit alors une addition de \(X \times E\) dans \(X\) par \(x + u = y\) avec \(y\) tel que \(\overrightarrow{xy}=u\).
On appelle scalaires les éléments du corps \(\mathbb{K}\).
On appelle vecteurs les éléments de l’espace vectoriel \(E\).
On appelle points les éléments de l’espace affine.
On note parfois surmontés d’une flèche les éléments de \(E\), pour les distinguer des éléments de \(X\); ainsi au lieu de \(u=\overrightarrow{xy}\) ou \(x+u=y\) on peut noter \(x+\overrightarrow{u}=y\).
Une convention usuelle est aussi de noter \(\overrightarrow{X}\) un espace vectoriel associé à \(X\); il faut bien voir toutefois que la direction n’est pas unique et qu’il ne suffit pas que \(X\) soit un espace affine de direction \(E\) pour qu’on puisse définir canoniquement sa direction \(\overrightarrow{X}\).
On appelle dimension d’un espace affine la dimension de sa direction lorsque celle-ci est finie; un espace affine est dit de dimension infinie lorsque sa direction est de dimension infinie.
On appelle translation de vecteur \(a\) avec \(a \in E\) l’application qui à \(x\) dans \(X\) associe \(x+a\).
On appelle variété affine d’un espace affine \(X\) de direction \(F\) ou sous-espace affine de \(X\) tout sous-ensemble de \(X\) de la forme \(x+F\) avec \(x\in X\) et \(F\) sous-espace vectoriel de \(E\) (droite affine si ce sous-espace vectoriel est une droite, plan affine si ce sous-espace vectoriel est un plan, hyperplan affine si ce sous-espace vectoriel est un hyperplan,etc).