Sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\)

[ Théorème ]

Les sous-groupes finis de \(O_3^+(\mathbb{R})\) sont de l’une des 5 formes suivantes:

\(\bullet\)Groupes constitués exclusivement de rotations, isomorphes à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)

\(\bullet\)Groupes isomorphes aux groupes diédraux (ordre pair)

Toutes les isométries des groupes d’un de ces deux premiers types ont la particularité de laisser stable une même droite \(D\), i.e. ce sont des isométries agissant dans le plan \(D^\perp\).

\(\bullet\)Groupe des isométries positives laissant invariant un tétraèdre régulier (ordre 12)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives du cube = groupe des isométries positives de l’octaèdre (ordre 24)

\(\bullet\)Groupe des isométries positives de l’icosaèdre (ordre 60)

Il existe des exemples pour chacun de ces cas.

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