Distance sur \(C^k(\Omega)\)

[ Definition ]

On définit maintenant \(K_m\) comme étant l’intersection de la boule \(\overline B(0,m)\) et de \(\{ x ; d(x,\Omega^c)\geq \frac 1m\}\). On définit ensuite \(N_m(f)\), pour \(f\) dans \(C^k(\Omega)\) par \(N_m(f)=\sum_{\nu \in \mathbb{N}^d/|\nu|\leq k} sup_{K_m} |\partial^\nu f(x)|\).

On définit ensuite sur \(C^k(\Omega)\) la distance:

\[d(f,g)=\sum_{m>0} \frac{1}{2^m} \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)}\]
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