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La topologie de la convergence uniforme sur tout compact a donc pour base d’ouverts les \(\left(g \mapsto N_{K}(f,g)\right)^{-1}[0,\epsilon[)\) pour \(\epsilon>0\), \(K\) compact non vide et \(f\) application continue de \(X\) dans \(Y\).
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Topologie de la convergence uniforme sur tout compact
[ Definition ]
Si \(X\) est un espace topologique localement compact, on peut définir sur \(C^0(X,F)\) la famille d’écarts \((N_{K})\), pour \(K\) compact non vide de \(X\), par: \[N_{K}(f,g)= \sup_{x\in K} d(f(x),g(x)) \in [0, \infty[.\] Et la topologie engendrée par ces écarts a pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur les compacts de \(X\). C’est pourquoi on appelle la topologie engendrée par ces applications topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Si la famille \((K_i)_{i\in I}\) (\(I\) non nécessairement dénombrable!) est telle que tout compact \(K\) de \(X\) est inclus dans un certain \(K_i\), alors la famille des \(N_{K_i}\) suffit.