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Si \(X\) est en fait un espace topologique compact, alors sur l’espace des applications continues de \(X\) dans \(F\), noté \(C^0(X,F)\), cette topologie est aussi induite par la distance \[d(f,g)=sup_{x\in X} d(f(x),g(x)).\]
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Topologie de la convergence uniforme
[ Definition ]
Soit \(X\) un ensemble (non vide) et \(F\) un espace métrique. L’espace \(F^X\) des applications de \(X\) dans \(F\) est métrique avec les distances \[d_1(f,g)=min[1;sup_{x\in X} d(f(x),g(x))]\mbox{ et }d_2(f,g)=sup_{x\in X}\frac{d(f(x),g(x))}{1+d(f(x),g(x))}.\] Ces deux distances induisent une même topologie, dite topologie de la convergence uniforme.