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Théorème d’Ascoli
[ Théorème ]
\(\bullet\)Soit \(F\) un espace métrique2, et \(E\) un espace topologique; soit \({\cal F}\) une famille équicontinue en \(e\in E\) de fonctions de \(E\) dans \(F\).
\(\bullet\)Si \({\cal F}\) est équicontinue en tout point, alors \(\overline {\cal F}\) est équicontinue en tout point.
\(\bullet\)Avec \({\cal E}\) une partie dense de \(E\), la topologie de la convergence simple, la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, la topologie induite par la convergence simple sur \({\cal E}\)4, induisent la même topologie sur \({\cal F}\) (si \({\cal F}\) est équicontinue sur \(X\)).