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Théorème de Banach-Steinhaus
[ Théorème ]
Ce théorème est dit aussi théorème de la borne uniforme.
On se donne \(E\) et \(F\) des espaces de Banach, et \((T_i)_{i \in I}\) une famille d’applications linéaires continues de \(E\) dans \(F\).
Si pour tout \(x\), \(\exists M_x ; \forall i\in I , \ {\parallel}T_i(x) {\parallel}\leq M_x{\parallel}x {\parallel}\).
Alors \(\exists M ; \forall i\in I, \ {\parallel}T_i {\parallel}\leq M\).